Dijkstra Finding the Shortest Path II

Dijkstra 求最短路II

给定一个 n 个点 m 条边的有向图，图中可能存在重边和自环，所有边权均为正值

请你求出 1 号点到 n 号点的最短距离，如果无法从 1 号点走到 n 号点，则输出 −1

输入格式

第一行包含整数 n 和 m
接下来 m 行每行包含三个整数 x, y, z，表示存在一条从点 x 到点 y 的有向边，边长为 z

输出格式

输出一个整数，表示 1 号点到 n 号点的最短距离
如果路径不存在，则输出 −1

数据范围

1 ≤ n, m ≤ 150000
图中涉及边长均不超过 10000

输入样例

输出样例

1

3

分析

n的范围变为 1 ~ 150000，属于稀疏图（点多边少），采用 邻接表 + 堆优化

图初始化
- 使用邻接表建图，每次调用 add(a, b, c) 记录一条边
Dijkstra 主体逻辑
- 起点 1 入堆，距离设为 0
- 每次从堆中取出距离最小的点 ver，如果该点已确定最短路则跳过
- 遍历 ver 的所有出边 ver → j：
  - 若 dist[j] > dist[ver] + w，说明找到了更短路径，更新并入堆
输出答案
- 若 dist[n] == INF，说明无法到达 n，输出 -1
- 否则输出 dist[n]

时间复杂度

时间复杂度 O(mlogn)

空间复杂度

空间复杂度为 O(n + m)

C++代码

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#include <cstring>
#include <iostream>
#include <queue>
#include <utility>

typedef std::pair<int, int> PII;  // <最短距离, 点编号>

const int N = 1000010;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

int h[N], e[N], w[N], ne[N], idx; // 邻接表
int dist[N];      // 存储最短距离
bool st[N];       // 标记是否已经确定最短距离
int n, m;

// 添加一条边 a -> b，权值为 c
void add(int a, int b, int c)
{
  e[idx] = b;
  w[idx] = c;
  ne[idx] = h[a];
  h[a] = idx++;
}

// 堆优化 Dijkstra 主函数
int dijkstra() {
  std::memset(dist, INF, sizeof(dist));
  dist[1] = 0;

  std::priority_queue<PII, std::vector<PII>, std::greater<PII>> heap;
  heap.push({0, 1}); // 起点入堆

  while (heap.size())
  {
    PII t = heap.top();
    heap.pop();
    int ver = t.second;

    if (st[ver]) continue;  // 如果已经处理过，跳过
    st[ver] = true;

    // 遍历 ver 的所有出边
    for (int i = h[ver]; i != -1; i = ne[i])
    {
      int j = e[i];
      if (dist[j] > dist[ver] + w[i])
      {
        dist[j] = dist[ver] + w[i];
        heap.push({dist[j], j});
      }
    }
  }

  return dist[n] == INF ? -1 : dist[n];
}

int main()
{
  std::memset(h, -1, sizeof(h)); // 初始化邻接表

  std::cin >> n >> m;
  for (int i = 0; i < m; ++ i)
  {
    int x, y, z;
    std::cin >> x >> y >> z;
    add(x, y, z);  // 构建图
  }

  std::cout << dijkstra() << '\n';

  return 0;
}