Dijkstra Finding the Shortest Path I

Dijkstra 求最短路I

给定一个 n 个点 m 条边的有向图，图中可能存在重边和自环，所有边权均为正值

请你求出 1 号点到 n 号点的最短距离，如果无法从 1 号点走到 n 号点，则输出 −1

输入格式

第一行包含整数 n 和 m
接下来 m 行每行包含三个整数 x, y, z，表示存在一条从点 x 到点 y 的有向边，边长为 z

输出格式

输出一个整数，表示 1 号点到 n 号点的最短距离
如果路径不存在，则输出 −1

数据范围

1 ≤ n ≤ 500
1 ≤ m ≤ 105
图中涉及边长均不超过 10000

输入样例

输出样例

1

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分析

初始化
- dist[i] 记录从起点 1 到 i 的最短路径，初始化为 INF（无穷大）
- st[i] 记录该点是否已确定最短路径，初始化为 false
- g[i][j] 记录 i 到 j 的边权，初始化为 INF
Dijkstra 算法执行
- 选取当前未确定最短路径且距离最近的点 t
- 将 t 标记为已确定 (st[t] = true)
- 遍历 t 的所有邻接点 j，如果 dist[t] + g[t][j] < dist[j]，更新 dist[j]
- 重复 n 轮，直到所有点处理完
返回结果
- 如果 dist[n] == INF，说明无法到达 n，返回 -1
- 否则返回 dist[n]，即 1 号点到 n 号点的最短路径长度

时间复杂度

寻找最小 dist[t] 的点：O(n)
遍历所有边更新 dist[j]：O(n^2)

总时间复杂度 O(n^2)

空间复杂度

空间复杂度为 O(n^2)

C++代码

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#include <cstring>
#include <iostream>

const int N = 510;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

int g[N][N];  // 邻接矩阵存储图
int dist[N];  // 记录最短路径距离
bool st[N];   // 记录该点是否已确定最短路径

int n, m;  // n个点，m条边

int dijkstra()
{
    std::memset(dist, INF, sizeof(dist));
    dist[1] = 0;  // 起点1号点，最短路径初始化为0

    for (int i = 0; i < n; ++i)
    {
        // 选取当前未确定的点中，dist最小的点 t
        int t = -1;
        for (int j = 1; j <= n; ++j)
            if (!st[j] && (t == -1 || dist[j] < dist[t]))
                t = j;

        st[t] = true;  // 标记 t 号点已经确定最短路径

        // 用 t 号点更新其他点的最短距离
        for (int j = 1; j <= n; ++j)
            dist[j] = std::min(dist[j], dist[t] + g[t][j]);
    }

    return dist[n] == INF ? -1 : dist[n];  // 如果 n 号点仍是 INF，说明无法到达
}

int main()
{
    std::memset(g, INF, sizeof(g));  // 初始化邻接矩阵，所有边初始设为无穷大

    std::cin >> n >> m;
    while (m--)
    {
        int x, y, z;
        std::cin >> x >> y >> z;
        g[x][y] = std::min(g[x][y], z);  // 处理重边，取最小值
    }

    std::cout << dijkstra() << '\n';

    return 0;
}